প্রাইম নাম্বারের ভূবনে

| মাহমুদুল ইসলাম |

এবারের সংখ্যাটি ব্যাপন এর ২য় সংখ্যা। আর সংখ্যাতত্ত্বে ২ একটি মৌলিক সংখ্যা। চলো তাহলে মৌলিক সংখ্যার সাথে কিছুক্ষণ সময় কাটাই, কি বলো?
আচ্ছা, একটা প্রশ্ন করি। বলতো বায়ুমণ্ডলে কোন দুটি পদার্থের আধিক্য সবচেয়ে বেশি? ও! জানো! আচ্ছা, ঠিক আছে। অক্সিজেন (O) এবং নাইট্রোজেন (N)। এখন নিশ্চয়ই এও জানো যে এরা দু’জনেই আসলে মৌলিক পদার্থ। প্রকৃতিতে এই দুইটি মৌল না থাকলে বাতাস থাকতো কি থাকতো না তা আমরা আরেক দিন ভাববো।
তবে তোমরা নিশ্চয়ই জানো, এই মৌল গুলো একে অপরের সাথে যুক্ত হয়ে অসংখ্য যৌগ গঠন করে। ঠিক তেমনি গণিতে এমন কতগুলো সংখ্যা আছে যারা অক্সিজেন বা নাইট্রোজেনের মতোই অন্য সংখ্যার সাথে মিলেমিশে নতুন সংখ্যা তৈরি করে। এদেরকেই আমরা বলি প্রাইম নাম্বার (Prime Number) বা মৌলিক সংখ্যা।

আবার এই সংখ্যাগুলো পরস্পরের সাথে যুক্ত হয়ে যৌগের মতো নতুন নতুন সংখ্যা গঠন করে, যাদেরকে বলে কম্পোজিট নাম্বার বা যৌগিক সংখ্যা। আর এই প্রাইম সংখ্যা আর কম্পোজিট সংখ্যা নিয়েই গণিতের যতসব সংখ্যা। যে সংখ্যাকে ১ বা নিজেকে ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, সেটাই হলো প্রাইম নাম্বার। যেমনঃ ২, ৩, ৫, ৭, ১৩ ইত্যাদি।
তোমরাকি হলিউড মুভি স্নিকারস এর নাম শুনেছ? গণিত নিয়ে নির্মিত মজার মুভিগুলোর মধ্যে এটিই প্রথম। প্রাইম ছেড়ে মুভির খোঁজখবর কেন? কারণ হচ্ছে, হ্যাকিং-এ গণিত ও ক্রিপ্টোলজির ব্যাবহার নিয়ে নির্মিত এই মুভিটিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল প্রাইম নাম্বার। তুমি যদি না দেখে থাকো তবে আজই ইউটিউবে উঁকি দিতে পারো। সাইন্স ফিকশনের জগতে প্রাইম নাম্বার মস্ত বড় আসন নিয়ে বসে আছে। বিজ্ঞানী কার্ল সেগান বলেছিলেন “এলিয়েনদের সাথে যোগাযোগের মাধ্যম হতে পারে এই প্রাইম নাম্বার”।
তোমাকে যদি তোমার বন্ধু জিজ্ঞেস করে একটি গাছের মূল অংশ কোনটি? তুমি কী উত্তর দিবে? তোমার উত্তর হওয়া উচিত ‘কাণ্ড’। কেননা এই কাণ্ডই গাছকে বাঁচিয়ে রাখে। সে রকমই পাটিগণিতের কাণ্ড বা মূল অংশই হচ্ছে প্রাইম নাম্বার, যা আমরা পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে জানতে পারি। তাহলে চলো, ঝটপট একঝলক দেখে নিই উপপাদ্যটি-
মৌলিক সংখ্যা ব্যতীত ১ থেকে বড় যেকোনো সংখ্যাকে ১ বা তার থেকে বেশি সংখ্যক প্রাইমের গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায়।

24=2×2×2×3

n=p1×p2×p3×p4……pt

এখানে n সংখ্যাটির গুণণীয়ক বা উৎপাদকগুলো p1, p2, p3, p4……pt কে প্রাইমফ্যাক্টর বলে। এ কারণেই প্রাইম বা মৌলিক সংখ্যাকে সংখ্যার “Basic Building Blocks (BBB) বা মৌলিক গাঠনিক উপাদান” বলে। মজার ব্যাপার হলো যদি a একটি প্রাইম নাম্বার হয় এবং bc যদি একটি র্পূণ সংখ্যা হয় তবে b সংখ্যাটি অথবা c সংখ্যাটি a দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। এই মজার সমস্যাটি প্রমাণ করেছিলেন মহান গণিতবিদ ইউক্লিড। গুগলে ডুব দিয়ে তুমি আরো কিছু প্রমাণও দেখে নিতে পারো।

আমরা ঈদের দিনে কি মজা করেই না সেমাই, নুডলস খাই। কিন্তু এগুলো কিভাবে তৈরী করা হয় তা কি আমরা জানি? আমাদের অনেকেই এখনও এটা না জানলেও খৃষ্টপূর্ব ২য় শতকের গণিতবিদ ইরাটসথেনিস ভদ্রলোক ঠিকই জানতেন। তিনি কিনা এই পদ্ধতি দেখেই স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে মৌলিক সংখ্যা বের করার পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন। তিনি লক্ষ্য করলেন, যখন নুডলস রান্না করা হয় তখন পানি আর স্প্যাগেটি (Spaghetti) বা নুডলস দানা থাকে। স্প্যাগেটিগুলো বের করার জন্য একটি ছাঁকনি ব্যবহার করে গরম পানি থেকে সব স্প্যাগেটি তুলে নিয়ে নেওয়া হয়। এ থেকেই গণিতবিদ ইরাটসথেনিস স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে প্রাইম সংখ্যাগুলো বের করেন। চলো দেখে নিই তিনি কিভাবে এই কাজখানা করলেন।

এখানে, আমরা ক্রমান্বয়ে নন-প্রাইমদের কেটে দিয়ে প্রাইম নাম্বারগুলোকে ছেঁকে আলাদা করবো।

• ১ সংখ্যাটি প্রাইম কি নন- প্রাইম তা আমরা পরে দেখব। তবে এখন নন-প্রাইম (অমৌলিক) মনে করে সংখ্যাটি কেটে দিই।
• ২ বাদে ২ এর গুণিতক সকল জোড় সংখ্যাগুলো কেটে দিই। কারণ সংখ্যাগুলো ২ দ্বারা ভাগ যায় এবং সেই কারণে নন-প্রাইম।
• এর পরের সংখ্যা ৩। ৩ বাদে ৩ এর গুণিতকগুলো কেটে দিই। কারণ এরাও তো অমৌলিক।
• এর পরের সংখ্যা ৫। ৫ বাদে ৫ এর গুণিতকগুলো কেটে দিয়ে নন-প্রাইমদের বিদায় করি।
• এর পরের সংখ্যা ৭। ৭ বাদে ৭ এর গুণিতকগুলো কেটে দিয়ে এখানেও নন-প্রাইমদের বিদায় করি।

এখন, যে সংখ্যাগুলো বাকি আছে সেগুলোই আমাদের প্রয়োজনীয় সেমাই বা নুডলস আর ইরাটসথেনিসের প্রাইম সংখ্যা। যেহেতু আমরা ছাঁকনির সাহায্যে প্রাইমগুলো বের করেছি, তাই এ পদ্ধতির নাম সিভ অব ইরাটসথেনিস (Sieve of Eratosthenes) বা ইরাটসথেনিসের ছাঁকনি। এখানে ৭ এর পরে তো আরও প্রাইম নাম্বার আছে কিন্তু ৭ এর গুণিতক র্পযন্ত আমরা কেন কেটে দিয়েছি বলোতো। হুম! বলেই দিচ্ছি। কোন প্রাইম সংখ্যা পর্যন্ত কেটে দিবে তা আমরা বের করবো “ট্রায়ালডিভিশন” নিয়ম থেকে। চলো তাহলে একবার দেখে নিই নিয়মখানাঃ
যদি n পর্যন্ত প্রাইম সংখ্যা বের করতে হয়, তবে √n এর মধ্যে যে মৌলিক সংখ্যাগুলো থাকবে তাদের গুণিতকগুলো কেটে দিতে হবে।
এইমাত্র আমরা ১০০ র্পযন্ত প্রাইম সংখ্যা বের করেছি ট্রায়ালডিভিশন নিয়ম থেকেই। আমরা পাই, √১০০=১০ সংখ্যার মধ্যে যে প্রাইমগুলো আছে (২, ৩, ৫, ৭) সেগুলোর গুণিতকগুলো কেটে দিলে যে সংখ্যা অবশিষ্ট থাকে সেগুলোই তোমার প্রয়োজনীয় প্রাইম সংখ্যা।
র্সবনিম্ন প্রাইম সংখ্যা : ২
র্সবোচ্চ প্রাইম সংখ্যা : ২^{৫৭,৮৮৫,১৬১}-১ যা ১৭,৪২৫,১৭০ অঙ্কের একটি প্রাইম।

১ প্রাইম নাম্বার কিনা?

কিছুক্ষণ আগে আমরা সিভ অব ইরাটসথেনিস বের করার সময় ১ কে নন-প্রাইম ধরে সিভ করেছি। কিন্তু তোমাকে যদি প্রশ্ন করি ১ কি প্রাইম হবে, কী বলবে? ধাঁধায় পড়ে গেলে তাই না? তাহলে চলো আমরাই খুঁজে বের করি ১ এর প্রাইম কাহিনী। প্রাচীনকালে গ্রিক গণিতবিদরা ১ কে প্রাইম সংখ্যা মনে করতেন না। কিন্তু বিংশ শতাব্দীতে এসে গণিতবিদ হেনরি লেবসগি ১ কে প্রাইম বললেন। গণিতবিদ নরম্যান লেহমার ১৯৫৬সালে প্রাইম সংখ্যা বের করেছিলেন ১০,০০৬,৭২১ র্পযন্ত। তিনি কিন্তু শুরুটা করেছিলেন ১ থেকে। যেহেতু ধরাধরি করতে নেই মানা, তাহলে চলো ধরি ১ একটি প্রাইম সংখ্যা। তবে ১৫ এর প্রাইম ফ্যাক্টরগুলো হবে-
15 = 3×5, যখন ১ প্রাইম নয়
15 = 1×3×5, যখন ১ প্রাইম
তাহলেতো পাটিগণিতের মৌলিক নীতিটি পরির্বতন করতে হবে। আবার সিভ অব ইরাটসথেনিস পদ্ধতিতে যদি ১ কে প্রাইম ধরি তাহলেতো প্রাইম সংখ্যা একটাই হয়। সেটা ১। কারণ সকল সংখ্যাকেই ১ দ্বারা ভাগ করা যায়। হায়! হায়! তাহলেতো সব সংখ্যাই কাটা পড়ে যায়। কিন্তু প্রাইম সংখ্যার এমন কিছু বৈশিষ্ট্য আছে যা ১ এর মাঝে পাওয়া যায় না। তাই ১ প্রাইম সংখ্যা নয়। কিন্তু ১ আবার কম্পোজিট বা যৌগিক সংখ্যাও নয়। কারণ কম্পোজিট সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টর দিয়ে প্রকাশ করা যায় কিন্তু ১ কে প্রাইম ফ্যাক্টর দিয়ে প্রকাশ করা যায় না। তাই ১ প্রাইম সংখ্যাও নয় কম্পোজিট সংখ্যাও নয়।

মজার কিছু প্রাইম:

মজার কিছু প্রাইম:

বেস্ট নাম্বারঃ ৭৩

৭৩ সংখ্যাটি ২১ তম প্রাইম নাম্বার। ২১ সংখ্যাটির উৎপাদক ৩ এবং ৭ যারা  দু’জনেই প্রাইম নাম্বার। ৭৩ সংখ্যাটির প্রতিচ্ছবি (উল্টালে) ৩৭ যা কিনা ১২ তম প্রাইম নাম্বার। ৭৩ সংখ্যাটির বাইনারি সংখ্যা ১০০১০০১ যা আবার একটি পেলিন্ড্রোমসংখ্যা (যে সংখ্যাগুলো দুই ভিত্তিক তাদেরকে বাইনারি বা দ্বিমিক সংখ্যা বলে। আমরা যে সাধারণ সংখ্যা গুলো ব্যবহার করি সেগুলো মূলত দশ ভিত্তিক বা দশমিক সংখ্যা। যে সংখ্যাগুলো উল্টিয়ে দিলে সংখ্যাটি একই থাকে তাকে পেলিন্ড্রোমসংখ্যাবলে।)

টুইন প্রাইম বা যমজ মৌলিক:

২ বাদ দিয়ে অন্য যে প্রাইম সংখ্যা গুলো আছে তাদের মধ্যে দুইটি প্রাইমের মাঝে যদি ২ পার্থক্য থাকে তবে সেই প্রতিটি জোড় একটি করে টুইন প্রাইম।

টুইন প্রাইম র্ফমুলা : (p,p+2) যেমন:(৩,৫),(৫,৭),(১১,১৩),(১৭,১৯),(২৯,৩১),(৪১,৪৩),(৫৯,৬১),(৭১,৭৩),(১০১,১০৩)

কো-প্রাইম বা সহমৌলিক:

দুইটি প্রাইমের মাঝে যদি ১ বাদে অন্য কোন সাধারণ (একই) উৎপাদক না থাকে তবে প্রাইম দুইটিকে কো-প্রাইম বলে।যেমন: ১৫ এবং ২৮

১৫=(১,৩,৫,১৫)

২৮=(১,২,৪,৭,১৪,২৮)

দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য উৎপাদকগুলো আলাদা। তাই সংখ্যা দুইটি কো-প্রাইম।

মার্সেন প্রাইম:

এ প্রাইমগুলো র্দাশনিক ও সংখ্যাতত্ত্ববিদ মেরিন মার্সেন এর নামে নামকরণ করাহয়। কেননা সূত্রের আবিষ্কারক যে তিনিই।

এই সূত্রের সাহায্যে অনেকগুলো প্রাইম বের করা হয়েছে। তাই বলে প্রতিটি মার্সেন প্রাইম কিন্তু প্রাইম সংখ্যা নয়। যেমন:  যা ২৩ এবং ৮৯ দ্বারা বিভাজ্য।  তবে ডাবল মার্সেন প্রাইম এখন র্পযন্ত চারটি আবিষ্কৃত হয়েছে, যা উপরে দিয়েছি। ২০১৪ সালের অক্টোবর নাগাদ মোট ৪৮টি মার্সেনপ্রাইম আবিষ্কৃত হয়েছে, যার আবার ৪৮তমটি ১,৭৪,২৫,১৭০ সংখ্যার।

পারফেক্ট নাম্বার:

যে সংখ্যাকে এর প্রপার ফ্যাক্টর (যার উৎপাদক বের করতে হবে সেই সংখ্যাটি ব্যতীত আর অন্য যে উৎপাদকগুলো আছে সেগুলো প্রপারফ্যাক্টর) এর যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়, সেই সংখ্যাকে পারফেক্ট নাম্বার বলে।

যেমন:  ৬ এবং ২৮

৬=১+২+৩ (প্রপারফ্যাক্টর:১,২,৩ যেগুলো যোগ করলে ৬ হয়)

২৮=১+২+৪+৭+১৪(প্রপারফ্যাক্টর:১,২,৪,৭,১৪ যেগুলো যোগ করলে ২৮ হয়)

গণিতবিদ ইউক্লিড প্রমাণ করেন যে একটি জোড় পারফেক্ট প্রাইম নাম্বার। যেখানে  একটি র্মাসেন প্রাইম নাম্বার। এই জোড় নাম্বারগুলোকে ইউক্লিড নাম্বার বলে।

সিকেডা প্রাইম নাম্বার:

 গণের পতঙ্গপ্রাণী সিকেডা জীবন ধারনের ক্ষেত্রে কিন্তু প্রাইম নাম্বারকে অনুসরণ করে। এই পোকাগুলো তাদের জীবনের বেশীরভাগ সময় তাদের গর্তে বাস করে। ৭,১৩,১৭ বছর পরে যখন তারা শুয়োপোকায় রূপান্তরিত হয়, তখন তারা র্গত থেকে বের হয়ে আসে এবং উড়ে উড়ে খাদ্য সংগ্রহ করে। কিন্তু কিছু সপ্তাহ পরে তারা মারা যায় । সাধারণভাবে বলা যায় এ পতঙ্গ তখন অন্যান্য বড় বড় শিকারীর শিকার হওয়া থেকে রক্ষা পায়। কিন্তু যদি এরা ননপ্রাইম সংখ্যায় বা অল্পসময় ব্যবধানে বের হতো তবে শিকারীর শিকার হতো খুব তাড়াতাড়ি। গবেষণায় দেখা গেছে, প্রাইম সংখ্যায় বের হওয়ার কারণে তারা নন প্রাইমের থেকে ২% জীবন অধিক লাভ করে।

 পেলিন্ড্রোমিক প্রাইম নাম্বার:

পেলিন্ড্রোমিক কাকে বলে বলতো? ভুলে গেছো কেউ?  তাহলে একটু উপরে চোখ বুলিয়ে নাও। একটু আগেই কিন্তু পড়েছো। তাহলে চলো, এবার পেলিন্ড্রোমের ডানায় চড়ে সেরকম কিছু প্রাইম সংখ্যা বের করি। আগেই বলেছি যে সংখ্যাকে উল্টালে আবার সেই সংখ্যাটি পাওয়া যায় তাই পেলিন্ড্রোম।

তুমি নিজেই কিন্তু পেলিন্ড্রোম সংখ্যা তৈরী করতে পারো। বলতো কিভাবে? যেকোনো একটি সংখ্যা নাও।  তারপর সংখ্যাটির উভয়পাশে একই অঙ্ক সমান সংখ্যকবার বসাও। তাহলেই হয়ে গেল পেলিন্ড্রোম সংখ্যা। তাহলে চলো কিছু পেলিন্ড্রোমিক প্রাইম দেখি-

২,৩,৫,৭,১০১,১৩১,১৫১,১৮১,১৯১,৩১৩,৩৫৩,৩৭৩,৩৮৩,৭২৭,৭৫৭,৭৮৭,৭৯৭.

প্রাইম নিয়ে জানতে গিয়ে ক্লান্ত হয়ে গেলে?  তাহলে আজ আর নয়। আমরা আরেকদিন না হয় প্রাইম নিয়ে আরো কিছু মজার মজার জিনিস শিখবো ইনশা-আল্লাহ। তাহলে আজ বিদায় ! তবে যাওয়ার আগে একটা প্রাইম প্রবলেম দিয়ে যাই। তোমরা সবাই হয়তো ব্যাপন প্রথম সংখ্যা থেকে ফিবোনাচ্চি সংখ্যা (একটি ধারার ১মপদ ০, ২য় পদ ১ হলে, পরর্বতী প্রতিটি পদ তার র্পূবর্বতী পদ দুটির যোগফলের সমান হবে। যেমন: ০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩ ইত্যাদি) সর্ম্পকে ইতোমধ্যে জানো। এবার তবে ফিবোনাচ্চি সংখ্যা থেকে প্রাইমগুলো বের করার একটি সূত্র তৈরী করে ফেলো ঝটপট।